量子力学（二）
连续谱和波函数
连续谱
自旋的例子中，可能的测量值是分立的，但我们也会遇到连续的可观测量的情况。一个例子就是 空间坐标。
先考虑一维的情况，此时空间坐标算符 $x$ 的本征态就是所有
\[\ket{x=x_0},\quad x_0\in\mathbb{R}.\]我们将其简记为 $\ket{x}$。
要注意区分 $x$ 在何时表示算符，何时表示本征值（数）。有时为了区分，我们会用 $\hat{x}$ 来表示算符。
类比我们如何在一组离散的基下展开某个量子态
\[\ket{\psi}=\sum_ic_i\ket{a_i},\quad\sum_i|c_i|^2=1,\]在这组连续的基下展开量子态就可以通过将求和改为积分1实现
\[\ket{\psi}=\int\mathrm{d}x\,\psi(x)\ket{x},\quad\int\mathrm{d}x\,|\psi(x)|^2=1.\]这里的 $\psi(x)$ 就是我们常说的 波函数。类比于 $c_i=\braket{a_i|\psi}$，波函数实际上就是量子态 $\ket{\psi}$ 在坐标算符本征基下的分量
\[\psi(x)=\braket{x|\psi}.\]这件事可以通过线性代数中提到的单位分解得到。对于连续谱，就是
\[1=\int\mathrm{d}x\,\ket{x}\bra{x}.\]应用单位分解，就有
\[\ket{\psi}=\int\mathrm{d}x\ket{x}\braket{x|\psi}.\]
对于三维空间坐标 $\pmb{x}=(x,y,z)$，三个空间分量的算符是对易的2
\[[x,y]=[y,z]=[x,z]=0.\]因此一个量子态可以在它们的共同本征基下展开
\[\ket{\psi}=\int\mathrm{d}^3x\,\ket{\pmb{x}}\braket{\pmb{x}|\psi},\]得到三维的波函数
\[\psi(\pmb{x})=\braket{\pmb{x}|\psi}.\]Delta 函数
这一小节是对数学内容的一点补充，在这里我们暂时显式写出积分上下限，以提醒读者这些积分是 定积分。
之所以单位分解成立，是因为在离散的正交归一基中
\[\braket{a_i|a_j}=\delta_{ij}.\]因此在计算 $\braket{a_i|\psi}$ 时，只有 $\ket{\psi}$ 的 $\ket{a_i}$ 分量才会有非零的贡献值。
对于连续谱，正交归一基则给出
\[\braket{x_1|x_2}=\delta(x_1-x_2).\]这里的 $\delta(x)$ 是 狄拉克 $\delta$ 函数。它满足
\[\delta(x)=\left\{\begin{aligned} &0,&&x\ne 0\\ &\infty,&&x=0 \end{aligned}\right.\]以及
\[\int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}x\,\delta(x)=1.\]这看起来非常奇怪，事实上严格的定义需要用到 广义函数。但我们只需要记住其最重要的性质：
\[\int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}\xi\,f(\xi)\delta(x-\xi)=f(x).\]这样一来，就有
\[\braket{x|\psi}=\int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}\xi\,\psi(\xi)\braket{x|\xi}=\int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}\xi\,\psi(\xi)\delta(x-\xi)=\psi(x).\]注意到，这里的 $\ket{x}$ 似乎就不满足我们刚刚提到的归一化条件。一种处理方法是认为，我们无法将一个微观粒子的空间坐标 无限精准 地测量出来，因此有意义的物理态实际上是带有一个小展宽的
\[\ket{x^{(\Delta)}}=\frac{1}{\sqrt{2\Delta}}\int_{x-\Delta}^{x+\Delta}\mathrm{d}\xi\,\ket{\xi}.\]这样的态就满足归一化条件了3
\[\braket{x^{(\Delta)}|x^{(\Delta)}}=1.\]
波函数
我们知道，连续函数构成的集合同样也可以作为线性空间。因此，我们可以把这个函数集合作为连续谱的希尔伯特空间4
\[\mathcal{H}=\{\psi(x)\}.\]其中每一个函数就是所谓的 波函数。
简单来说，我们前文讨论的线性空间和矢量都是一些 抽象的概念，但我们实际上也可以依托某些 具体的对象 来讨论。在这个例子中这个具体的对象就是各种连续函数，它们的加法和数乘就和抽象概念中的矢量一样，这实际上就是这个抽象概念的一个 具体实现。
两个波函数的内积定义为
\[\braket{\phi,\psi}=\int\mathrm{d}x\,\phi^\ast(x)\psi(x).\]读者可以自行验证这个定义满足线性性、共轭对称性等等性质。事实上，这个定义和我们之前的结果是一致的
\[\braket{\phi|\psi}=\int\mathrm{d}x\,\braket{\phi|x}\braket{x|\psi}.\]在波函数上也可以定义线性算符。以下是一些例子
- 乘 $x$；
- 求导算符 $\partial_x$；
事实上，很快我们将会看到，这两个是函数空间上最重要的线性算符。在狄拉克记号下，线性算符的作用对应为5
\[\mathcal{A}\psi(x)=\braket{x|A|\psi}.\]平移对称和动量
在经典力学中，对称性是体系十分重要的性质。接下来我们在量子力学中讨论一种很基本的对称性：平移对称性。
空间平移
既然量子力学的基础是线性代数，我们自然想到，可以直接定义一个线性算符来表示平移操作
\[T(a)\ket{x}=\ket{x+a}.\]这个算符作用在一个一般的量子态上得到
\[\begin{aligned} T(a)\ket{\psi}&=\int\mathrm{d}x\,T(a)\ket{x}\braket{x|\psi}\\ &=\int\mathrm{d}x\,\ket{x+a}\psi(x)\\ &=\int\mathrm{d}x\,\ket{x}\psi(x-a). \end{aligned}\]这意味着平移算符会将 $\psi(x)$ 变换到 $\psi(x-a)$。换句话说
\[\braket{x|T(a)|\psi}=\braket{x-a|\psi}.\]这也可以被看作平移算符作用在左矢的结果
\[\bra{x}T(a)=\bra{x-a}.\]根据左矢和右矢的自然对应，我们知道
\[T^\dagger(a)\ket{x}\quad\leftrightarrow\quad\bra{x}T(a)=\bra{x-a}\quad\leftrightarrow\quad\ket{x-a}.\]这就表示
\[T^\dagger(a)=T(-a).\]另外我们知道，连续进行两次平移操作总可以等价为一个新的平移，平移距离为 $0$ 则相当于什么都不做。把这两条性质用算符形式写出来就是
\[T(a)T(b)=T(a+b),\quad T(0)=1_{\mathcal{H}}.\]从中，立刻可以得到一个推论：平移算符是 幺正 的
\[T^\dagger(a)T(a)=T(-a)T(a)=1_{\mathcal{H}}.\]因此，将整个系统进行平移是不会改变任何物理的。
接下来我们考虑平移算符 $T(a)$ 和 $x$ 的对易子。在这一段中我们暂时恢复算符的上标 $\hat{x}$ 以作区分。将这些算符按不同顺序作用在 $\ket{x}$ 上，分别得到
\[\begin{aligned} \hat{x}\,\hat{T}(a)\ket{x}&=\hat{x}\ket{x+a}=(x+a)\ket{x+a}\\ \hat{T}(a)\hat{x}\ket{x}&=x\,\hat{T}(a)\ket{x}=x\ket{x+a}. \end{aligned}\]注意到，这个结果对任意 $\ket{x}$ 都成立，而 $\ket{x}$ 构成希尔伯特空间的基。这就意味着6
\[[\hat{x},\hat{T}(a)]=\hat{x}\hat{T}(a)-\hat{T}(a)\hat{x}=a.\]平移生成元
有关生成元和指数映射的严格数学描述，可以参考有关李群和李代数的内容。
我们总结一下上一小节关于平移算符的三个性质
\[T^\dagger(a)=T(-a),\quad T(a)T(b)=T(a+b),\quad T(0)=1_{\mathcal{H}}.\]熟悉函数方程的话，我们立刻就会发现，后两条性质恰恰就是指数函数 $f(x)=e^x$ 的性质。事实上，对于算符，我们也可以定义指数函数7
\[e^A=1_{\mathcal{H}}+A+\frac{1}{2}A^2+\cdots=\sum_n\frac{1}{n!}A^n.\]考虑到平移算符的幺正性，我们可以把平移算符写为
\[T(a)=e^{-ika},\]其中 $k$ 是一个厄米算符 $k=k^\dagger$，称为平移的 生成元。可以验证这个平移算符确实满足以上三个性质
\[(e^{-ika})^\dagger=e^{ika},\quad e^{-ika}e^{-ikb}=e^{-ik(a+b)},\quad e^0=1.\]现在，我们考察 无穷小平移 的情况，即 $a\to 0$ 的情况。此时由泰勒展开可以写出
\[T(a)\approx 1_{\mathcal{H}}-ika.\]从 $x$ 和 $T(a)$ 的对易关系出发，我们立刻可以得到
\[[x,T(a)]=-ia[x,k]=a.\]即
\[[x,k]=i.\]动量算符
出于以下几个原因，我们定义 动量算符 为
\[p=\hbar k,\]这就是粒子动量这一可观测量所对应的算符，$\hbar$ 在这里是为了匹配量纲。这样定义有如下几个原因：
- 这样定义的动量算符是厄米的；
- 经典力学中的动量是平移对称性的守恒荷；
- 经典力学中无穷小平移变换的生成函数也是由动量生成；
- 计算可知，动量算符的期望值和经典情形下的动量一致；
以上理由更多应该被当做这样定义的「动机」，实际上完全可以将量子力学看作是全新的理论，只不过其部分要素恰好可以与经典力学相对应。
动量算符和位置算符的对易关系满足
\[[x,p]=i\hbar.\]这与经典力学中的 泊松括号 之间存在某种对应关系
\[\{x,p\}=1\quad\leftrightarrow\quad\frac{1}{i\hbar}[x,p].\]这样的对应关系实际上是普适的8。这种对应关系也可以作为我们定义动量算符的动机之一。
这个对易关系告诉我们，动量算符和位置算符无法被同时对角化，或者说 动量和位置无法被同时准确测量。
对于三维空间的平移，平移算符应该具有形式
\[T(\pmb{a})=e^{-i\pmb{k}\cdot\pmb{a}}=e^{-i\pmb{p}\cdot\pmb{a}/\hbar}.\]此时，动量算符 $\pmb{p}=(p_1,p_2,p_3)$ 和位置算符一样有三个分量。它与位置算符 $\pmb{x}=(x^1,x^2,x^3)$ 之间满足对易关系
\[[x^m,p_n]=i\hbar\,\delta^m_n.\]波函数空间动量算符
现在，我们考虑一下波函数空间中的动量算符应该是什么形式的。回顾平移算符在波函数上的作用
\[\mathcal{T}(a)\psi(x)=\psi(x-a).\]则在无穷小变换下
\[\left(1-\frac{i}{\hbar}a\mathcal{P}\right)\psi(x)=\psi(x)-a\partial_x\psi(x),\]其中等式右边我们对 $\psi(x)$ 做了泰勒展开。对比之下，我们立刻会发现波函数空间中的动量算符就是
\[\mathcal{P}\psi(x)=-i\hbar\partial_x\psi(x).\]或者说
\[\braket{x|p|\psi}=-i\hbar\partial_x\braket{x|\psi}.\]我们可以验证一下这个动量算符确实是厄米的。回忆起厄米共轭的定义是
\[\braket{\phi,\mathcal{P}\psi}=\braket{\mathcal{P}^\dagger\phi,\psi}.\]在波函数空间中定义的内积下，可以写出
\[\begin{aligned} \braket{\phi,\mathcal{P}\psi}&=\int\mathrm{d}x\,\phi^\ast(x)(-i\hbar\partial_x\psi(x))\\ &=-\int\mathrm{d}x\,(-i\hbar\partial_x\phi^\ast(x))\psi(x)\\ &=\int\mathrm{d}x\,(-i\hbar\partial_x\phi(x))^\ast\psi(x)=\braket{\mathcal{P}\phi,\psi}. \end{aligned}\]其中，第二个等号使用了分部积分法，由于有意义的波函数在 $x\to\infty$ 时应当趋于零9，分部积分的边界项消失。于是我们发现，动量算符确实满足 $\mathcal{P}=\mathcal{P}^\dagger$。
读者还可以验证对易关系满足
\[[x,-i\hbar\partial_x]=i\hbar.\]
动量本征态
在本节中，暂时恢复 $\hat{p}$ 的上标。
动量算符的本征态给出
\[\hat{p}\ket{p}=p\ket{p}.\]我们可以研究一下动量本征态和位置本征态之间的关系。根据波函数空间动量算符的结果，我们可以写出
\[-i\hbar\partial_x\braket{x|p}=\braket{x|\hat{p}|p}=p\braket{x|p}.\]| 将上式作为一个关于 $\braket{x | p}$ 的微分方程，可以解出 |
也就是说，动量本征态的波函数是一个平面波解。需要注意的是，尽管这和平移算符的形式很像，但这是一个数而不是算符，也不表示任何平移操作。
回忆起，$\braket{x|p}$ 也可以被看作是基变换操作，也就是说，我们可以把波函数（量子态）在动量空间中展开
\[\begin{aligned} \braket{p|\psi}&=\int\mathrm{d}x\,\braket{p|x}\braket{x|\psi}\\ &=\int\mathrm{d}x\,\psi(x)e^{-ipx/ \hbar}. \end{aligned}\]这实际上就是我们熟悉的傅里叶变换。这个结果有时被称为 动量表象下的波函数
\[\braket{p|\psi}=\tilde{\psi}(p).\]脚注
这里的积分是全空间上的定积分而不是不定积分，我只是懒得打上下标 ↩
也就是说我们可以同时测量粒子的三个空间分量 ↩
更准确地说：$\bra{x}$ 应该被理解为某种 只能作为左矢/对偶矢量 的东西，对于无穷维线性空间，不能保证每个矢量和对偶矢量的一一对应。从泛函分析的角度说，如果我们考虑函数空间作为希尔伯特空间的实现，则 $\delta$ 函数只能定义在广义函数空间上（即函数空间的线性泛函空间） ↩
更严格的定义需要考虑诸如平方可积的性质，我们暂且不论 ↩
这里花体和斜体用来表示这是同一个算符的不同实现，接下来我们就会看到一些例子说明这点 ↩
严格来说，这里等式右边应该是 $a$ 倍的单位算符 ↩
事实上，我们还没有严格定义算符的无穷求和，不过作为物理学家让我们暂时忽略这点。更严格的说法请参考关于李群和李代数的内容 ↩
从某种角度来说，它们的一大共同点在于它们都是李括号 ↩
可以从波函数的归一化条件看出 ↩