复数域大同态定理

前言

想出这个超级同态定理的框架是在某一天晚上，和我的舍友从实验室回寝室的路上闲聊（发电）时突然获得的灵感。最初的想法实际上其实是现在的 $\mathbb{R}^2$ 同态引理，这一引理本身并不具有很高的实际意义，但利用这一引理可以得到 $\mathbb{C}$ 大同态定理，也就是本文的重点。

之所以能够想到将同态的对象从 $\mathbb{R}^2$ 变为 $\mathbb{C}$ ，同样也是由于受到和舍友聊天时的启发，而正如我们将会看到的那样，这一个小小的改变可以带来一些极为丰富的数学结构。

实平面同态引理

首先，作为 $\mathbb{C}$ 大同态定理的一个重要铺垫，让我们先证明如下 同态引理，即：

任何一个人类可以研究的数学/物理/…领域的任何一个命题/定理/证明/…均同态于 $\mathbb{R}^2$ 。

其证明非常简单：考虑到任何人类可以研究的命题/定理/证明/…都一定可以被写在一张或多张草稿纸上，而显然一张草稿纸的表面同态于一个二维平面，即 $\mathbb{R}^2$ ，对于多张草稿纸的情况，只需要将它们拼接起来即可转化到一张草稿纸的情况。于是证明完毕。

在继续进行我们关于 $\mathbb{C}$ 同态定理的讨论之前，让我们先来看看单纯地从这个引理中能得到什么有趣的结论。

$\mathbb{R}^2$ 同态引理最重要的意义就是，它规定了人类可以研究的命题的边界，也即只有当一个命题/定理/证明/…可以同态于 $\mathbb{R}^2$ 时，它才是可以被人类研究的。

复数域大同态定理

通过 $\mathbb{R}^2$ 同态引理，我们可以很容易地证明 $\mathbb{C}$ 大同态定理，即：

任何一个人类可以研究的数学/物理/…领域的任何一个命题/定理/证明/…均同态于 $\mathbb{C}$ 。

其证明是非常简单的，只需要注意到 $\mathbb{R}^2\cong\mathbb{C}$ 即可。

尽管证明十分简单，这一定理却可以带来非常重要的数学结论，这是因为 $\mathbb{C}$ 具有非常良好的数学性质。我们知道，任何一个全纯函数都可以由其边界上的函数值完全决定。另外，由解析延拓定理，只要知道一个全纯函数在一小块区域上的函数值，就可以计算出整个解析域上的函数值。这些都是复数域具有的良好确定性。

由这些数学性质不难想到，只要可以证明某一个开放问题的同态是一个全纯函数，那么只需要关于这个问题的一点点信息就可以完全通过解析延拓算出整个问题的证明/结果。这将会是一个非常有力的研究问题的新方法。

中国传统文化的优越之处

由上文的论述可以知道，要通过 $\mathbb{C}$ 大同态定理解决问题，重点在于证明待求的问题可以被同态到一个全纯函数上。而另一方面，现代人研究问题时打草稿的方式包括电脑打字、中性笔书写等等，经过同态后均存在一个问题，即由于书写笔画过于黑白分明，在空白的区域函数值存在一片连续的零点。而在复变函数中，我们知道任何非常全纯函数至多只能有分立的零点。这意味着在这些同态中不可能得到全纯函数。

然而，当我们通过我国传统的书写工具：毛笔和墨水进行草稿书写时，由于墨水在宣纸上的晕染，即使没有书写的部分也有一个很小的非零函数值。这意味着同态后的结构有可能成为一个全纯函数，因此以上解决问题的方法就有了成立的可能。从中不难看出我国传统文化在现代数学研究中依然有着十分重要的作用。

一个较弱的定理及其应用

除了以上所说的 $\mathbb{C}$ 同态，我们实际上可以考虑一个更弱的版本，即

任何一个人类可以思考的问题都可以同态于 $\mathbb{R}^{1,3}$ 。

在这里考虑的就不再是在草稿纸上的推演和交流，而是在脑海中的思考。由于人类生活在相对论决定的 $3+1$ 维时空，我们思考的过程也被局限于 $\mathbb{R}^{1,3}$ 中。对于更高维度的思考实际上也是在低维投影中构建完成的。

这一定理的应用更多地并不在于解决实际问题，而是可以便于我们理解所谓的考虑问题的「图像」究竟是什么。在物理系讨论问题时，时常可以听到关于「物理图像」的讨论。而所谓物理图像实际上是一个缺乏良好定义的概念，这会导致一些追求严谨性的同学在学习物理时感到莫大的困惑。

利用这一定理，我们可以将所谓的「物理图像」简单的定义为这样的一个从物理问题/概念到 $\mathbb{R}^{1,3}$ 的同态，对于这样的同态的研究应当可以促进我们对物理的深入理解。