p-进数简介
读者可能在各种科普资料中听说过 $p$-进数，假设我们抛开理智考虑这样一个数
\[\cdots999.0\]并且尝试将它加一，由于每一位上的 $9$ 加一后得到 $0$ 并且进一位，进行一个希尔伯特旅馆式的无穷尽进位后，最终会得到
\[\cdots999+1=0.\]这似乎暗示了 $\cdots999=-1$。对于一个素数 $p$，在 $p$ 进制下考察类似这样形式的数就被称为 $p$-进数。事实上，这样的数是可以被严格化描述的。令人惊讶的是，甚至存在基于这种数域的弦论和量子理论。
p-进数简介
何为 p-进数
一个 $p$-进整数（$p$-adic integer）可以在形式上被定义为如下级数
\[x=a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots,\]其中 $a_n\in\mathbb{Z}$ 且 $0\leqslant a_n\leqslant p-1$，$p$ 是一个质数；而一个 $p$-进数（$p$-adic number）可以被定义为级数
\[x=a_{-k}p^{-k}+\cdots+a_{-1}p^{-1}+a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots.\]这两个级数之所以收敛，是因为我们使用的不是通常的绝对值范数，而是 $p$-进范数（$p$-adic norm），定义为
\[\left|a_kp^k+a_{k+1}p^{k+1}+\cdots\right|_p=p^{-k},\quad a_k\ne 0.\]我们特别规定 $|0|_p=0$。这个范数满足强三角不等式（strong triangular inequality）
\[|x+y|_p\leqslant\max(|x|_p,|y|_p).\]因此有时它被称为超范数。
在这个范数下，无穷级数 $\sum_na_n$ 收敛只需要 $a_n$ 收敛于 $0$ 即可。
在 $p$-进范数的意义下，$p^k$ 随着指数 $k$ 增大，模反而减小，因此以上定义中的级数是收敛的。
$p$-进数的加、减、乘法都是自然的。为了计算除法，我们需要考虑如何计算 $x^{-1}$。首先让我们考虑 $|x|_p=1$ 即求解整数列 $(b_0,b_1,\cdots)$ 满足
\[xx^{-1}=(a_0+a_1p+\cdots)(b_0+b_1p+\cdots)=1.\]为此，只需要迭代求解 $b_0$ 满足 $a_0b_0=1+c_1p\equiv1(\mathrm{mod}\,p)$，$b_1$ 满足 $a_0b_1+a_1b_0+c_1=c_2p\equiv0$，以此类推，即可解出 $x^{-1}$。
一般而言，如果 $x=p^ku$ 而 $|u|_p=1$，则 $x^{-1}=p^{-k}u^{-1}$。另外 $|x^{-1}|_p=(|x|_p)^{-1}$。
对于一个 $p$-进数，我们记
\[\nu(x)=-\log_p|x|_p\]称为 $p$-进赋值（valuation）。这是一个整数，用于表明 $x$ 最低的非零数位，$\nu(0)=\infty$。
$p$-进整数和 $p$-进数全体通常分别记作 $\mathbb{Z}_p$ 和 $\mathbb{Q}_p$，显然它们分别构成一个环和域。
$\mathbb{Q}_p$ 是 $\mathbb{Q}$ 在 $p$-进度量下的完备化。虽然同样是不可数集，但它和 $\mathbb{Q}$ 在绝对值度量下的完备化 $\mathbb{R}$ 性质有很大差异。举例来说，当 $p$ 除以 $4$ 余 $1$ 时，$\mathbb{Q}_p$ 中存在平方为 $-1$ 的数。此外，对于不同的素数 $p,q$，$\mathbb{Q}_p$ 和 $\mathbb{Q}_q$ 也是不同构的。
拓扑来看，$\mathbb{Q}_p$ 上的每一个球都是既开又闭的，并且任意两个球都只可能完全不交或者完全包含。这也意味着 $\mathbb{Q}_p$ 是一个完全不连通的豪斯多夫空间。
$\mathbb{Q}_p$ 的代数闭包是它的一个无限扩张 $\bar{\mathbb{Q}}_p$，但这个空间不是完备的。它的完备化称为 $p$-进复数 $\mathbb{C}_p$，和 $\mathbb{C}$ 同构，可以被视为一个装备了不同范数的复数域。
我们简单说明 $\mathbb{Q}$ 是如何嵌入 $\mathbb{Q}_p$。首先注意到整数可以直接直接写为其对应的 $p$-进制形式，因而 $\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z}_p$。将一个整数写为 $n=p^{\nu(n)}k$ 的形式，其中 $k$ 与 $p$ 互素，则
\[\frac{1}{n}=p^{-\nu(n)}k^{-1},\quad k^{-1}\in\mathbb{Z}_p.\]而我们知道，任何有理数 $\alpha$ 都可以写为 $p^{\nu(\alpha)}n/m$ 的形式，其中 $m,n$ 都和 $p$ 互素。因此 $n/m$ 也是一个 $p$-进整数。于是我们就把 $\alpha$ 写成了一个 $p$-进数，且 $|\alpha|_p=p^{-\nu(\alpha)}$。
p-进数的积分
接下来我们想要计算在 $p$-进数上的积分1，为此我们希望定义一个 $p$-进数上的积分测度 $\mathrm{d}x$。出于各种考虑，我们显然希望这个测度是平移 $x\mapsto x+a$ 不变的，并且我们选取归一化使得 $\mathbb{Z}_p$ 的测度
\[\int_{\mathbb{Z}_p}\mathrm{d}x=1.\]由于我们可以将 $\mathbb{Z}_p$ 分成互不相交的 $p$ 个部分 $\mathbb{Z}_p=\bigcup_{k=0}^{p-1}C_k$，其中
\[C_k=\{a_0+a_1p+\cdots\in\mathbb{Z}_p|a_0=k\}\]显然不同的 $C_k$ 可以通过平移相互转化，因此它们的测度应该相等。于是
\[\int_{C_k}\mathrm{d}x=p^{-1}.\]重复这一推理过程，如果我们进一步划分 $C_k$ 为更小的互不相交的子集
\[C_{k_1,k_2,\cdots,k_n}=\{a_0+a_1p+\cdots\in\mathbb{Z}_p|a_{i-1}=k_i,i=1,\cdots,n\},\]那么就可以得出
\[\int_{C_{k_1,\cdots,k_n}}\mathrm{d}x=p^{-n}.\]有了这些知识，我们就可以计算 $p$-进数的积分了。
作为一个例子，让我们考察如下积分2
\[I=\int_{\mathbb{Z}_p}\mathrm{d}x\,|x|^s.\]注意到 $p$-进范数在 $C_{k\ne0}$ 上是常数 $|x|=1$，于是
\[I=(p-1)p^{-1}+\int_{C_0}\mathrm{d}x\,|x|^s.\]进一步地，在 $C_{0,k\ne0}$ 上 $p$-进范数也是常数，因此这个积分可以被进一步写为
\[I=\frac{p-1}{p}+\frac{p-1}{p^2}p^{-s}+\int_{C_{0,0}}\mathrm{d}x\,|x|^s.\]以此类推，这个积分最终可以被写成一个级数
\[\begin{aligned} I&=\frac{p-1}{p}+\frac{p-1}{p^2}p^{-s}+\frac{p-1}{p^3}p^{-2s}+\cdots\\ &=\frac{p-1}{p}\frac{1}{1-p^{-s-1}},\quad \mathrm{Re}\,s>-1. \end{aligned}\]这个积分结果在 $\mathrm{Re}\,s>-1$ 时是收敛的。注意到这与在 $\mathbb{R}$ 上 $(-a,a)$ 区间内同样的积分收敛条件是一样的。
以上的讨论完全可以自然推广到 $\mathbb{Q}_p$ 中，例如考虑
\[C^{(-1)}=\{a_{-1}p^{-1}+a_0+a_1p+\cdots\in\mathbb{Q}_p\},\]则有
\[\int_{C^{(-n)}}\mathrm{d}x=p^n\]以及
\[\int_{C^{(-n)}}\mathrm{d}x\,|x|^s=\frac{p-1}{p}\frac{p^{n+ns}}{1-p^{-s-1}}.\]如果把积分区域推到全 $\mathbb{Q}_p$，则积分发散，同样的积分在 $\mathbb{R}$ 上也是发散的。
根据以上关于收敛性的讨论，我们可以发现，场论中常见的利用量纲（即缩放行为）判断积分发散的准则在 $p$-进数中也有可能适用。
另一个 $p$-进数和实/复数相似的地方是，考察 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Q}_p)$ 对 $p$-进数的作用
\[\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}:~x\mapsto\frac{ax+b}{cx+d},\]其中 $a,b,c,d\in\mathbb{Q}_p$ 且 $ad-bc=1$，这一变换将积分测度变为
\[\mathrm{d}x\mapsto\frac{\mathrm{d}x}{|cx+d|^2}.\]p-进数特征标
考虑 $p$-进数域的加法特征标（additive character）和乘法特征标（multiplicative character）34
\[\chi(x)=\exp(2\pi ix),\quad\pi_s(x)=|x|^s.\]这意味着
\[\chi(x+y)=\chi(x)\chi(y),\quad\pi_s(xy)=\pi_s(x)\pi_s(y),\]其中 $\chi(x)$ 可以直接按照通常 $\mathbb{C}$ 上的指数计算，这是因为只有 $x$ 的小数部分有贡献，因此它在整个数域 $\mathbb{Q}_p$ 上都是良定义的。
伽马函数
结合这两个函数，我们可以定义 $p$-进数上的伽马函数
\[\Gamma_p(s)=\int_{\mathbb{Q}_p}\mathrm{d}x\,\chi(x)\pi_{s-1}(x).\]通过将这个积分分为对 $\mathbb{Z}_p$ 和 $\mathbb{Q}_p\backslash\mathbb{Z}_p$ 的积分，可以求得这个函数的表达式
\[\Gamma_p(x)=\frac{1-p^{x-1}}{1-p^{-x}}.\]根据这个表达式我们立刻可以推知
\[\Gamma_p(x)\Gamma_p(1-x)=1.\]考虑将这个伽马函数的定义式推至 $p\to\infty$，即 $\mathbb{Q}_\infty=\mathbb{R}$ 的情况，不难发现其对应于通常的
\[\Gamma_\infty(s)=\int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}x\,e^{ix}|x|^{s-1}=2\Gamma(s)\cos\frac\pi2s,\]其中 $\Gamma(s)$ 就是欧拉伽马函数。
在计算 $p$-进数弦论中的开弦散射振幅时5，结果就可以用 $p$-进数伽马函数表示
\[\begin{aligned} \mathcal{A}(k_i)&=\int_{\mathbb{Q}_p}\mathrm{d}x\,|x|^{k_1\cdot k_2}|1-x|^{k_1\cdot k_3}\\ &=\prod\Gamma_p(1+k_1\cdot k_i)\\ &=\frac{\Gamma_p(1+k_1\cdot k_2)\Gamma_p(1+k_1\cdot k_4)}{\Gamma_p(1+k_1\cdot k_2+1+k_1\cdot k_4)} \end{aligned}\]其中 $k_i^2=2$，$\sum_ik_i=0$。这里最后的表达式实际上就是 $p$-进数中的贝塔函数。
傅里叶变换
利用 $p$-进数的加法特征标，我们可以写出一个 $p$-进数函数的傅里叶变换
\[\tilde{f}(k)=\int_{\mathbb{Q}_p}\mathrm{d}x\,\chi(kx)f(x)\]以及它的逆变换
\[f(x)=\int_{\mathbb{Q}_p}\mathrm{d}k\,\chi(-kx)\tilde{f}(k).\]我们可以考察一个熟悉的特例
\[\delta(x)=\int_{\mathbb{Q}_p}\mathrm{d}k\,\chi(kx).\]不难发现，它在 $x=0$ 时发散，而在 $x\ne0$ 时永远为零。
高斯积分
$p$-进数中同样有高斯积分
\[\int_{\mathbb{Q}_p}\mathrm{d}x\,\chi(ax^2+bx)=\frac{\lambda_{(p)}(a)}{\pi_{1/2}(2a)}\chi(-b^2/4a).\]其中 $\lambda_{(p)}(a)$ 是一个勒让德符号，它的具体表达式比较复杂，因此我们不赘述。
p-进数求导
一种定义 $p$-进数求导的方式是对它的傅里叶变换求导。我们定义这样的一个算符
\[\partial^s \psi(x)=\int_{\mathbb{Q}_p}\mathrm{d}k\,\pi_s(k)\chi(-kx)\tilde{\psi}(k).\]除了直接从定义出发，我们还可以用卷积的方式计算这个积分。考虑如下的一族函数
\[f_s(x)=\frac{\pi_{s-1}(x)}{\Gamma_p(s)},\quad s\ne1.\]注意到 $f_0$ 就是 $\delta$ 函数，并且这族函数在 $s=1$ 处有一个奇点。计算函数的卷积可以发现
\[(f_s\ast f_r)(x)=\int_{\mathbb{Q}_p}\mathrm{d}y\,f_s(y)f_r(x-y)=f_{s+r}(x).\]特别地，我们定义 $s=1$ 时
\[f_1(x)=\frac{1-p}{p\log p}\log|x|.\]不难，验证这个定义也满足 $f_s$ 的卷积性质。
另一方面，我们注意到，$f_s$ 的傅里叶变换在 $s\ne1$ 时为
\[\tilde{f}_s(k)=\pi_{-s}(k),\]这意味着当 $f_{-s}$ 和一个任意函数卷积时，有
\[\begin{aligned} (f_{-s}\ast\psi)(x)&=\int_{\mathbb{Q}_p}\mathrm{d}k\,\chi(-kx)\tilde{f}_{-s}(k)\tilde\psi(k)\\ &=\int_{\mathbb{Q}_p}\mathrm{d}k\,\pi_s(k)\chi(-kx)\tilde\psi(k)=\partial^s\psi(x). \end{aligned}\]这意味着我们定义的 $s$ 阶导数算符的作用可以用卷积计算
\[\partial^s\psi(x)=\Gamma_p(s+1)\int_{\mathbb{Q}_p}\mathrm{d}y\,\frac{\psi(y)}{\pi_{s+1}(x-y)}.\]这个结果和柯西积分公式非常相像。
我们可以通过计算一些例子来验证这个结果确实和定义式一致，例如
\[\begin{aligned} \partial^s\chi(ax)&=\pi_s(a)\chi(ax),\\ \partial^s\pi_r(x)&=\frac{\Gamma_p(r+1)}{\Gamma_p(r+1-s)}\pi_{r-s}(x). \end{aligned}\]这些结果确实和我们通常期待的导数结果相一致。
注意到这个导数算符的定义甚至可以延拓到 $s<0$ 时，一个特殊情况是 $s=-1$ 时
\[\partial^{-1}\psi(x)=\frac{1-p}{p\log p}\int_{\mathbb{Q}_p}\mathrm{d}y\,\psi(y)\log|x-y|.\]域扩张和阿代尔
在数学物理领域中，涉及 $p$-进数的讨论中通常会涉及到它的两种扩展，分别是它的二次扩张（quadratic extension）和阿代尔（Adele），在这一段中我们简略介绍一下这两者。
二次扩张
数域的二次扩张实际上是我们很熟悉的内容。考虑 $\mathbb{R}$，我们不难注意到，不存在 $x\in\mathbb{R}$ 使得 $x^2=-1$。于是我们想到，可以通过引入 $\sqrt{-1}$ 来构造一个更大的数域，记为 $\mathbb{R}[\sqrt{-1}]$。这个数域中的所有元素都可以写为
\[\mathbb{R}[\sqrt{-1}]\ni z=x+y\sqrt{-1},\quad x,y\in\mathbb{R}.\]换而言之，这个新的数域可以被看作由 ${1,\sqrt{-1}}$ 张成的 $\mathbb{R}$ 上的二维线性空间，并且形式上继承了原来数域上的乘法。以上例子表明，复数域就是实数域的一个二次扩张。
我们想要讨论的对于 $p$-进数的二次扩张就是这样一个数域 $\mathbb{Q}_p[\sqrt{\tau}]$，记为 $K$。首先，我们需要定义其上的范数，这个定义方式和实数域的二次扩张类似。对于扩张后数域里的一个元素
\[z=x+y\sqrt{\tau},\]我们可以定义它的共轭为
\[\bar{z}=x-y\sqrt{\tau}.\]这样一来 $z\bar{z}$ 就是 $\mathbb{Q}_p$ 中的元素，于是我们可以通过原本的 $p$-进范数来定义 $K$ 上的范数
\[|z|_K=\sqrt{|z\bar{z}|_p}=\sqrt{|x^2-y^2\tau|_p}.\]阿代尔
一个阿代尔（Adele）是这样一个无穷序列
\[a=(a_\infty,a_2,a_3,\cdots,a_p,\cdots),\]其中 $a_p\in\mathbb{Q}_p$，特别地 $\mathbb{Q}_\infty=\mathbb{R}$，且从某个足够大的素数 $P_a$ 以后，所有的 $a_{p>P_a}\in\mathbb{Z}_p$。所有阿代尔的集合记作 $\mathbb{A}$，显然它构成一个环，称为阿代尔环。
由于对任何 $p$-进数域，都包含有理数域 $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}_p$，因此有理数自然也包括在阿代尔环中。具体来说可以考察所有形如
\[(\alpha,\alpha,\cdots)\in\mathbb{A}\]的阿代尔，这里 $\alpha\in\mathbb{Q}$。这个构造称为有理数的对角嵌入（diagonal embedding）。
为了说明对角嵌入的有效性，我们需要说明对任意一个 $\alpha\in\mathbb{Q}$，当素数 $p$ 足够大时都有 $\alpha\in\mathbb{Z}_p$。为此，注意到 $\alpha$ 总可以写为 $n/m$ 且 $m,n$ 互素，则当 $p$ 大于 $mn$ 的最大素因数时 $n/m$ 是一个 $p$-进整数。
在阿代尔环上，可以很直接地定义加法特征标和范数
\[\begin{aligned} \chi(a)&=\chi_\infty(a_\infty)\prod_p\chi_p(a_p),\\ |a|_{\mathbb{A}}&=|a_\infty|\prod_p|a_p|_p. \end{aligned}\]其中 $\chi_p$ 是 $\mathbb{Q}_p$ 上的加法特征标，$\chi_\infty(x)=\exp(-2\pi ix)$ 是实数上的加法特征标，$|x|$ 是实数的绝对值。由于我们要求每一个阿代尔只有有限的非「整数」分量，这两个无穷求积总是良定义的。
关于这个特征标，一个重要的定理是当 $a$ 是有理数（的嵌入）时 $\chi(a)=1$。由这个定理出发，可以立刻得到欧拉乘积公式
\[e^{-2\pi i\alpha}=\prod_p\frac{1}{\chi_p(\alpha)},\quad\alpha\in\mathbb{Q}.\]另一个类似的公式是关于范数
\[|\alpha|=\prod_p\frac{1}{|\alpha|_p},\quad\alpha\in\mathbb{Q}.\]要证明这个公式只需要写出 $\alpha=n/m$ 的素因数分解即可。
阿代尔的傅里叶变换
现在，我们考虑如下的阿代尔环上的函数
\[\psi(a)=\psi_\infty(a_\infty)\prod_{p\in S}\psi_p(a_p)\prod_{p\notin S}\Omega_p(a_p),\]其中，$S$ 是素数集的一个有限子集。我们要求 $\psi_\infty(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的光滑函数，且任意阶导数在无穷远处以快于任意多项式的速度收敛到 $0$；$\psi_p(a_p)$ 是局域常值且紧支撑的函数；$\Omega_p(a_p)$ 在 $a_p\in\mathbb{Z}_p$ 时为 $1$，否则为 $0$。满足这一系列条件的函数构成阿代尔上的施瓦茨函数（Schwartz function）集，记作 $\mathcal{S}(\mathbb{A})$。
阿代尔环上的傅里叶变换将一个 $\mathcal{S}(\mathbb{A})$ 中的函数变换为另一个 $\mathcal{S}(\mathbb{A})$ 中的函数
\[\tilde\psi(b)=\int_{\mathbb{A}}\mathrm{d}a\,\chi_{\mathbb{A}}(ab)\psi(a),\]其中积分测度是乘积测度 $\mathrm{d}a=\mathrm{d}a_\infty\mathrm{d}a_2\cdots$。