线性代数速通（三）

张量

线性空间的直和

正常来说，两个线性空间中的元素是无法相加的，因为它们属于不同的空间。但是我们可以定义两个线性空间的 直和 $V\oplus W$，这也是一个线性空间。直和空间中的每一个元素，都可以形式上¹写为一个 $V$ 中的元素加上一个 $W$ 中的元素

\[\ket{v}+\ket{w}\in V\oplus W.\]

直和空间的加法和数乘就是

\[\begin{aligned} (\ket{v_1}+\ket{w_1})+(\ket{v_2}+\ket{w_2})&=\ket{v_1}+\ket{v_2}+\ket{w_1}+\ket{w_2}\\ \alpha(\ket{v}+\ket{w})&=\alpha\ket{v}+\alpha\ket{w}. \end{aligned}\]

这样一来，刚刚形式上的加法就是非常自然的了。

对于原本线性空间的基 $\ket{v_i}$ 和 $\ket{w_i}$，直和空间的一组基就是直接把它们拼起来²

\[\{\ket{v_1},\cdots,\ket{v_n},\ket{w_1},\cdots,\ket{w_m}\}.\]

因此，直和空间的维数也就是两个空间维数之和。

除此之外，我们还可以考虑直和空间上的算符，它们是

\[\mathcal{L}(V)\oplus\mathcal{L}(W)\]

中的元素。一个这样的算符 $A_V+B_W$ 作用在直和空间上的结果就是 对应的部分分别作用在对应空间的部分上

\[(A_V+B_W)(\ket{v}+\ket{w})=A_V\ket{v}+B_W\ket{w}.\]

在这里似乎不那么直观了，不太符合我们对乘法分配律的理解。但实际上要考虑到 $A_V$ 无法作用在 $W$ 中的矢量上，反之同理。为了避免这种直观上的冲突，算符直和有时也用 $A_V\oplus V_W$ 记。

一个记忆的方法是：苹果削皮器 可以作用在 苹果 上，香蕉削皮器 可以作用在 香蕉 上。要想给 苹果加香蕉 削皮，就需要 苹果削皮器加香蕉削皮器，但每种削皮器还是只能处理对应的水果。

线性空间的张量积

两个线性空间不仅可以相加，还可以「相乘」，称为 张量积 $V\otimes W$。和刚才的直和类比，我们可以写出张量积空间中的某些元素

\[\ket{v}\otimes\ket{w}\in V\otimes W.\]

既然是「乘法」，我们自然希望它满足分配律³，或者说 双线性性⁴

\[\begin{aligned} \ket{v_1}\otimes\ket{w}+\ket{v_2}\otimes\ket{w}&=(\ket{v_1}+\ket{v_2})\otimes\ket{w},\\ (\alpha\ket{v})\otimes\ket{w}=\ket{v}\otimes(\alpha\ket{w})&=\alpha\ket{v}\otimes\ket{w}. \end{aligned}\]

但注意到，在张量积空间中做加法的时候，也可能会遇到

\[\ket{v_1}\otimes\ket{w_1}+\ket{v_2}\otimes\ket{w_2}={}?\]

这种无法被简单写为两个矢量张量积的情况。因此，张量积空间中一个一般的矢量应该具有

\[\ket{v_1}\otimes\ket{w_1}+\ket{v_2}\otimes\ket{w_2}+\cdots\]

的形式。不难看出，对于 $V$ 和 $W$ 的一组基 $\ket{v_i}$ 和 $\ket{w_i}$，张量积空间的一组基就是

\[\forall i,j,\qquad\ket{v_i}\otimes\ket{w_j}.\]

换句话说，张量积空间可以被看作是这一组基生成的空间。因此，张量积空间的维数就是两个空间维数的乘积。

张量积空间上的算符也是类似的

\[\mathcal{L}(V)\otimes\mathcal{L}(W)\]

中的元素，作用的方式也同样是 苹果削皮器和香蕉削皮器 的规则。

算符与张量

作为张量积的一个例子，考虑一个线性空间 $V$ 和它的对偶空间 $V^\ast$，它们的张量积空间是 $V\otimes V^\ast$。这个空间的一组基自然就是 $\ket{v_i}\otimes\bra{v_j}$。但在狄拉克记号中更常见的写法是 $\ket{v_i}\bra{v_j}$。

注意到，在介绍 $V$ 上的算符时，一个算符实际上可以被写为

\[X=\sum_{i,j}\ket{v_i}\braket{v_i|X|v_j}\bra{v_j} =\sum_{i,j}X^i{}_j\ket{v_i}\bra{v_j}.\]

换句话说，$\ket{v_i}\bra{v_j}$ 实际上也是 $V$ 上算符空间 $\mathcal{L}(V)$ 的一组基。于是我们知道

\[V\otimes V^\ast\cong\mathcal{L}(V)\]

就是 $V$ 上的算符空间，或者说 $(1,1)$ 型张量构成的空间。

不难猜到，一个更复杂的张量，例如 $T^{ab}{}_{cde}{}^f$ 是

\[V\otimes V\otimes V^\ast\otimes V^\ast\otimes V^\ast\otimes V\]

中的一个元素。这也就是为什么它们要叫做 张量⁵。

对称与反称

一个线性空间 $V$ 和自己张量积得到的空间可以被分解为两个子空间的直和

\[V\otimes V=(V\otimes_SV)\oplus(V\otimes_AV),\]

分别被称为 对称积 和 反称积 空间。其中，对称积被定义为

\[\ket{v}\otimes_S\ket{u}=\ket{u}\otimes_S\ket{v}=\frac{1}{2}(\ket{v}\otimes\ket{u}+\ket{u}\otimes\ket{v})\]

而反称积被定义为

\[\ket{v}\otimes_A\ket{u}=-\ket{u}\otimes_A\ket{v}=\frac{1}{2}(\ket{v}\otimes\ket{u}-\ket{u}\otimes\ket{v}).\]

顾名思义，对称积对于两个矢量交换是对称的，而反称积在两个矢量交换时会多出一个负号。另外，$\ket{v}\otimes_A\ket{v}=0$。反称积有时也被称为 外积，记作 $\ket{v}\wedge\ket{w}$。

不难发现，对于 $V$ 的一组基 $\ket{v_i}$，可以构造出对称积空间的一组基

\[\ket{v_i}\otimes_S\ket{v_j},\quad i\leqslant j\]

和反称积空间的一组基

\[\ket{v_i}\wedge\ket{v_j},\quad i<j.\]

拓展的对称和反称

一个线性空间 $V$ 多次与自己进行张量积可以被简记为

\[V\otimes V\otimes\cdots\otimes V=V^{\otimes n}.\]

这也就是 $(n,0)$ 型张量组成的空间。它的对偶空间是 $(V^\ast)^{\otimes n}$。在这个空间上同样可以定义对称积和反称积空间。

注意到，当 $n\ne2$ 时，就无法再将 $V^{\otimes n}$ 写为对称积空间和反称积空间的直和。

对称积很好定义，为了使对称积中任意两个矢量交换都是对称的，我们只需要像之前一样将所有可能出现的排序都平均起来就好

\[\ket{v_1}\otimes_S\ket{v_2}\otimes_S\cdots=\frac{1}{N}\sum_{\sigma\in S_n}\ket{v_{\sigma_1}}\otimes\ket{v_{\sigma_2}}\otimes\cdots,\]

其中的求和是对 $(1,2,\cdots)$ 的所有可能排列 $\sigma$ 进行，$N$ 则是可能的排列总数。这样一来，对称积对于任意矢量的交换都是对称的。

对于反称积，我们则希望对于任意两个矢量的交换都是反称的。换句话说，任意交换两个矢量都会使结果多一个负号

\[\ket{v_1}\wedge\ket{v_2}\wedge\Big(\cdots\Big)=-\ket{v_2}\wedge\ket{v_1}\wedge\Big(\cdots\Big).\]

这样一来，我们就需要给每一种可能的排序规定一个正负号 $\mathrm{sgn}(\sigma)$，每交换两个矢量，正负号就会改变一次。举例来说，如果规定

\[\mathrm{sgn}(1,2,3,4,\cdots)=+1,\]

那么就有

\[\mathrm{sgn}(1,3,2,4,\cdots)=-1.\]

这么一来，反称积就可以被定义为

\[\ket{v_1}\wedge\ket{v_2}\wedge\cdots=\frac{1}{N}\sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\ket{v_{\sigma_1}}\otimes\ket{v_{\sigma_2}}\otimes\cdots,\]

同样也对所有的排列求和。当我们交换任意两个矢量时，所有排列的 $\mathrm{sgn}$ 都会变号，因此最终的结果也就会多一个负号。

事实上，当 $n=\dim V$ 的时候，反称积空间只剩一维，即它的基只剩一个矢量

\[\ket{v_1}\wedge\ket{v_2}\wedge\cdots\wedge\ket{v_n}.\]

在 $n>\dim V$ 后反称积空间中就没有任何非零矢量了。

张量代数与格拉斯曼代数

在这一小节中，我们直接用字母代表矢量，而暂时不再使用狄拉克记号或爱因斯坦记号。

如果用 $V^{\otimes 0}$ 来表示底数域⁶，那么我们就可以定义 张量代数 为

\[V^\bullet=\bigoplus_{n\geqslant 0}V^{\otimes n}.\]

其中乘法就是简单的张量积。

用类似的方式也可以定义 对称积代数 和 反称积代数。后者也被称为 外代数 或 格拉斯曼代数

\[\wedge^\bullet V=\bigoplus_{n\geqslant 0}V^{\wedge n}.\]

由于外积的性质，这里的直和实际上到 $n=\dim V$ 就停止了。

格拉斯曼代数中的元素通常被称为 格拉斯曼数（Grassmann number），它们具有形式

\[z=c_0+\sum_ic_i\theta_i+\sum_{i<j}c_{ij}\theta_i\theta_j+\cdots,\]

其中 $\theta_i\in V$ 表示 $V$ 中的矢量，而系数 $c$ 通常是复数。另外，在讨论格拉斯曼数时通常省略外积的符号 $\wedge$。

由格拉斯曼代数的定义可以发现，这个代数可以被写为两个部分的直和

\[\wedge^\bullet V=V^{\wedge\text{even}}\oplus V^{\wedge\text{odd}},\]

这两个部分分别是由奇数个和偶数个 $V$ 外积而成的线性空间的直和

\[V^{\wedge\text{even/odd}}=\bigoplus_{n\in\text{even/odd}}V^{\wedge n}.\]

其中由偶数个 $V$ 外积而成的空间 $V^{\wedge\text{even}}$ 内的矢量被称为 $c$-数，它们和任何格拉斯曼数都对易

\[(\theta_i\theta_j)z=z(\theta_i\theta_j).\]

而 $V^{\wedge\text{odd}}$ 内的矢量被称为 $a$-数，任意两个 $a$-数之间是反对易⁷的。

脚注

1. 之所以称为「形式上」，是因为实际上在定义直和空间之前，我们还不知道如何将这两个空间中的矢量相加——这正是直和空间干的事情。你完全可以把这个形式和看作有序对的另一种表达方式 ↩

2. 注意到，鉴于之前形式和的做法，实际上诸如 $\ket{v}$ 其实是空间 $V$ 中的矢量。但我们在这里简单地认为它代表直和空间中的 $\ket{v}+0_W$。 ↩

3. 由于我们已经见过非交换的乘法了，这里的乘法不满足交换律大家应该也是可以接受的吧 ↩

4. 实际上满足双线性性的结构有很多，例如实空间上的内积。一种更数学的定义张量积的方式就是 所有这样的双线性结构中最大的一个。这一定义的好处在于不需要关注具体的某组基，在物理上这种性质称为 协变。 ↩

5. 或者反过来说，这就是为什么 $\otimes$ 要叫做张量积 ↩

6. 即实数域 $\mathbb{R}$ 或复数域 $\mathbb{C}$ ↩

7. 即交换会多一个负号 ↩